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ISTITUTO STATALE D’ARTE – POTENZA PROF. LUIGI ALBANO
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CURVATURA DELLA RETTA PROIETTIVA
Si osserva che, dopo aver "raggiunto" il punto improprio mediante la parallela per C alla r, se viene aumentato l'angolo w il punto P riappare sulla retta r dalla parte opposta a quella di partenza e si avvicina sempre più alla posizione iniziale con l'aumentare dell'angolo. Il verso di percorrenza non varia. Viene in questo modo introdotto il concetto di continuità della retta proiettiva e conseguentemente il concetto di "curvatura" della retta proiettiva. A riguardo si può convenire che due punti
A e B della retta r (fig. a), allontanandosi progressivamente l'uno dall'altro, si incontrino all'infinito nel punto improprio della retta stessa e da ciò si deduce che la retta proiettiva è curva. La retta proiettiva può anche essere considerata come una circonferenza di raggio infinitamente grande (fig. b), proposizione che concorda con l'invariabilità del verso di percorrenza di un punto P che scorre sulla retta. Le caratteristiche della retta proiettiva sono diverse da quelle della retta euclidea per la seguente particolarità: la retta euclidea viene divisa da un punto P in due semirette e non è possibile passare dall'una all'altra senza attraversare P, mentre nella retta proiettiva è possibile. - RETTA IMPROPRIA (sinonimo di retta all'infinito)- La retta impropria di un piano è l'ente geometrico che unisce o contiene, gli infiniti punti impropri delle rette del piano.
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PROPOSIZIONE RIGUARDANTE LA RETTA PROIETTIVA – Con riferimento al disegno sottostante, si consideri una retta r ed una circonferenza c esterna e complanare. Preso un punto C' sulla e si assume un fascio di rette di centro C' e si esamina la relazione che viene ad intercorrere tra i punti incontrati rispettivamente sulla retta e sulla circonferenza dalle rette del fascio. La corrispondenza è "biunivoca" poiché per ogni retta del fascio viene individuato un punto su r ed uno su c. Ad esempio per la retta p si hanno i punti P e P'. Si vuole dimostrare che la corrispondenza è anche "senza eccezioni". Poiché si ammette l'esistenza del punto improprio A∞ di r, si conduce per C' la retta che raggiunge tale punto improprio, cioè la parallela alla r e si verifica che essa determina su e il punto A', corrispondente del punto improprio A∞, ciò significa che la corrispondenza non ha eccezioni. Invece, se non esistesse il punto improprio, alla parallela condotta da C alla r non corrisponderebbe alcun punto sulla retta r per cui si avrebbe una "eccezione". Inoltre, se si considera la retta t tangente in O, si verifica che essa individua il punto C sulla r cui corrisponde C' sulla c. Si nota ancora che se un punto della retta r si allontana da C verso destra, dopo aver raggiunto il punto improprio A∞ ritorna a C da sinistra mentre i punti corrispondenti della circonferenza la percorrono interamente seguendo lo stesso verso. In base a tale corrispondenza biunivoca tra i punti di una circonferenza e quelli di una retta proiettiva, la circonferenza viene considerata "modello di retta proiettiva".
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