ISTITUTO STATALE D’ARTE – POTENZA

 CORSO  DI  GEOMETRIA DESCRITTIVA

PROF. LUIGI ALBANO

Sezioni coniche 

Al fine di poter correttamente definire una conica è necessario precisare il significato di cono in questo specifico ambito disciplinare.

Si definisce cono la superficie ottenuta proiettando da un centro di proiezione V tutti i punti di una linea complanare o sghemba.

Il centro di proiezione si definisce Vertice del cono.

La retta proiettante si definisce Generatrice.

La linea della quale si proiettano i punti si definisce Direttrice.

In matematica, e in particolare in geometria, con sezione conica, o semplicemente conica, si intende genericamente una curva piana che sia luogo dei punti ottenibili come rappresentazione della superficie di un cono tagliato da un piano intersecante.

Le sezioni coniche sono state studiate accuratamente in epoca ellenistica, in particolare da Apollonio di Perga intorno al 200 a.C.; questi diede anche i nomi tuttora in uso per i tre tipi fondamentali di sezioni coniche, ellisse, parabola e iperbole.

Tipi di coniche

Le due specie di coniche meglio visualizzabili sono la circonferenza e l'ellisse, entrambe sono specie di curve chiuse. La circonferenza è un caso particolare di ellisse relativo alla intersezione di un cono circolare retto con un piano perpendicolare al suo asse. Se si interseca il cono con un piano parallelo a una retta generatrice del cono si ottiene una conica chiamata parabola. Infine una intersezione con un piano non parallelo ad alcuna retta generatrice che determina una curva aperta fornisce una cosiddetta iperbole; in questo caso il piano interseca entrambe le parti del cono, dette falde, producendo due curve non connesse.

Vi sono poi casi degeneri ottenuti con un piano che passa per il vertice del cono: si distinguono tre casi:

la figura ottenuta si riduce a un punto;

la figura consiste in una linea retta (una generatrice del cono);

la figura si riduce a una coppia di rette (due generatrici del cono simmetriche rispetto all'asse del cono).

Nel sistema di coordinate cartesiane tridimensionali, il grafico di ogni equazione quadratica individua una sezione conica e tutte le sezioni coniche si possono ottenere in questo modo. Se si considera l'equazione quadratica nella forma

,

Visualizzazioni delle sezioni coniche: parabola – ellisse - iperbole

si ha la seguente casistica:

• se h2 = ab , l'equazione rappresenta una parabola;
• se h2 < ab e a b e/o h0 , l'equazione rappresenta una ellisse;
• se h2 > ab, l'equazione rappresenta una iperbole;
• se h2 < ab e a = b e h = 0 , l'equazione rappresenta una circonferenza;
• se a + b = 0 , l'equazione rappresenta una iperbole rettangulare.

Applicazioni

Le sezioni coniche sono importanti in astronomia: le orbite di due corpi (con masse elevate) che interagiscono secondo la legge di gravitazione universale sono sezioni coniche rispetto al loro comune centro di massa considerato a riposo. Se tra loro si esercita un’attrazione sufficiente, entrambi percorrono un'ellisse; se l'attrazione reciproca è insufficiente si muovono con la possibilità di allontanarsi illimitatamente percorrendo entrambi parabole o iperboli.

In geometria proiettiva le sezioni coniche nel piano proiettivo sono considerate equivalenti, nel senso che possono essere trasformate l'una nell'altra mediante una trasformazione proiettiva.

In epoca ellenistica la conoscenza delle coniche permise la costruzione di specchi parabolici applicati in attività belliche (v. Archimede) e nella costruzione di fari di grande portata (v. Faro di Alessandria).