ISTITUTO STATALE D’ARTE – POTENZA

 CORSO  DI  GEOMETRIA DESCRITTIVA

A.S. 2010-2011 CLASSE 4C

PROF. LUIGI ALBANO

UNITA' DIDATTICHE : settembre/ottobre_2010    

                                                                                                                OBIETTIVI DISCIPLINARI

La geometria descrittiva si pone come obiettivo la rappresentazione dello spazio tridimensionale su un piano bidimensionale, utilizzando un metodo scientifico che prevede l'esecuzione di due operazioni: proiezione e sezione. Utilizzando questo metodo si ottengono immagini corrispondenti biunivocamente con quanto da esse  rappresentato.

La  corrispondenza biunivoca è una proprietà degli insiemi  e si verifica quando ad ogni elemento di un insieme “A” corrisponde uno ed un solo elemento dell’insieme “ Aⁱ “ .

Conseguenza di quanto in precedenza è che ad ogni punto dell’immagine corrisponde uno ed un solo punto dell’oggetto reale e viceversa. Pertanto partendo dallo spazio reale è possibile ottenere un’immagine e partendo dall’immagine è possibile ricostruire lo spazio che essa rappresenta.

L’esigenza di stabilire  una corrispondenza biunivoca tra l’immagine e lo spazio che essa rappresenta, impone che il metodo per determinarla sia scientifico. Infatti i metodi grafici utilizzati si fondano sulla genesi del fenomeno proiettivo,  mediante il quale il sole proiettando sul piano un qualsiasi corpo opaco immerso nello spazio, ne determina un’immagine  bidimensionale: l’ombra.

La proiezione  avviene, quindi  su base scientifica ed in modo da stabilire una corrispondenza biunivoca tra i due insiemi (Oggetto reale/immagine) tale che ad ogni punto dell’insieme R (oggetto  reale) corrisponda uno ed un solo punto dell’insieme Rⁱ (immagine).

Un metodo scientifico deve avere precisi elementi con i quali operare. La geometria descrittiva, così come razionalizzata da G. Monge, amplia i concetti della geometria Euclidea, fondata sui postulati di Euclide, e mediante l’introduzione del punto e della retta impropria.

                                                                                                 Definizione degli enti fondamentali

la Geometria Descrittiva non abbandona i postulati della geometria Euclidea ma li trasforma e se ne avvale, ampliandoli con il citato   concetto dell'ente geometrico improprio.

Gli "ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI" sono: il punto, la retta, il piano.

- un punto improprio è un punto la cui posizione è immaginata all'infinito. Il punto, come nella Geometria Euclidèa, non ha dimensioni.

- Una retta impropria è formata da punti impropri. La retta ha una ed una sola dimensione. Ogni piano contiene una ed una sola retta impropria e pertanto nello spazio esistono infinite rette improprie, poiché infinito è il numero dei piani.

- Il piano improprio è formato da punti impropri e da rette improprie. Il piano ha due dimensioni. Nello spazio esiste un solo piano improprio.

lo spazio a tre dimensioni della Geometria Euclidèa, ampliato con gli enti impropri, assume il termine di "spazio proiettivo". In particolare:

- la retta che possiede il punto improprio è detta retta proiettiva;

      - il piano che possiede punti impropri e retta impropria è detto piano proiettivo.                  

                                                                                                                                 PROSPETTIVITÀ

Considerate due rette “ r “ ed “ r^{i ”} è possibile stabilire tra esse una corrispondenza biunivoca. L’operazione di proiezione si compie fissando un centro di proiezione (O) e proiettando da esso tutti i punti di una retta (r); la retta proiettiva passando da un punto  (A) della prima retta determinerà una sezione della seconda. Il punto di sezione individuato (A')  sarà il corrispondente del punto (A) proiettato .

L'operazione descritta in precedenza vale tanto sul piano quanto nello spazio. La situazione spaziale è rappresentata dalla proiezione effettuata dal sole (centro della proiezione) per mezzo dei raggi solari (rette proiettive) che  proiettando tutti i punti dell'oggetto  generano sul piano delle intersezioni che fissano il corrispondente di ogni punto sul piano che definiscono una particolare immagine che definiamo ombra. Le ombre  non sono altro che immagini bidimensionali dello spazio tridimensionale. Risulta evidente come al variare della posizione del sole (centro di proiezione) cambia l'immagine ma in ogni istante ad ogni punto dell'immagine corrisponde un solo punto dell'oggetto e viceversa.

l'ombra di un oggetto può pertanto definirsi come una prospettività di centro S; e con riferimento alla precedente figura 1 un bordo o spigolo dell'oggetto reale è rappresentato dalla retta "r" mentre la sua immagine è rappresentato dalla retta "r'".

La geometria descrittiva pertanto utilizzando questo metodo, fisico, non ammette eccezioni. Essa utilizza due operazioni:  proiezione e sezione.

 Il problema reale è rappresentato dalla necessità di trasferire il procedimento spaziale in un ambito bidimensionale utilizzando metodi assolutamente scientifici in maniera tale da conservare la biunivocità tra immagine ed oggetto da essa rappresentato. Il metodo adottato deve essere tale che   in ogni momento sia possibile, partendo dall'oggetto determinarne l'immagini e partendo dall'immagine  desumere le sue caratteristiche reali in maniera da poterlo costruire con assoluta certezza di risultato.

Con riferimento alla figura che precede è possibile fare alcune ulteriori ed importanti considerazioni. La prima riguarda le proprietà del punto d'intersezione tra la retta "r" e la sua corrispondente "r'"; questo punto(indicato con il pallino rosso)  si definisce punto Unito ed è l'unico punto della retta oggettiva che coincide con la sua immagine U'. La seconda considerazione analizza cosa accade quando il raggio proiettante (retta proiettiva in verde tratteggiata) assume la condizione di parallelismo con la retta oggettiva "r"(disegnata in nero).

In questo caso infatti il raggio proiettante (costituito da una retta proiettiva) proietterà il punto "I"  della retta oggettiva, posto all'infinito e definito punto improprio (si ricorda che si definisce punto improprio quel punto che immaginiamo all'infinito e nel quale concorrono rette proiettive parallele). Ne consegue che  l'intersezione del raggio proiettante con la "r'"  fisserà su quest'ultima  l'immagine del punto improprio I che s'indica con "i_r" e si definisce punto limite della retta "r".

• RICORDA CHE:

       La Geometria descrittiva evolve dalla Geometria Euclidea e si fonda sull''introduzione del concetto di punto improprio.

 L'introduzione del punto improprio comporta l'ampliamento degli enti geometrici fondamentali   della Geometria Euclidea  (punto, retta e piano)  ai quali si aggiungono  PUNTO, RETTA E PIANO IMPROPRIO.

L'introduzione del punto improprio impone l'adeguamento della definizione di retta; essa infatti nella geometria Euclidea,  viene definita come una  successione di punti allineati lungo una direzione. Questa retta (Euclidea) ovviamente non contiene il punto improprio.

L'introduzione del punto improprio, come ente facente parte della retta, determina la necessità di distinguere questa retta da quella Euclidea: la rette che contiene il punto improprio si definisce  RETTA PROIETTIVA diremo quindi che:

• la retta proiettiva è costituita da una successione infinità di punti, compreso quello improprio, allineati lungo una direzione.

Rilevante conseguenza dell'introduzione del punto improprio è che la condizione di parallelismo tra rette postulata da Euclide non è valida in presenza di rette proiettive. In questo caso si infatti  stabilito che: 

• il punto improprio è quel punto la cui posizione viene immaginata all'infinito,

ne consegue che:

• due rette proiettive parallele convergono in un punto improprio .

Conseguenza di quanto in precedenza è che

• due piani proiettivi paralleli , costituiti cioè da rette proiettive, convergeranno in una retta proiettiva impropria .

e quindi si definisce

•  retta impropria quella retta, la cui posizione è immaginata all'infinita, luogo geometrico di tutti i punti impropri di tutte le rette che appartengono ad un dato piano.

         DEFINIZIONE DI PUNTO IMPROPRIO:    CLIKKA    e    VAI  ___________

 APPROFONDIMENTO:

continuità nello spazio della RETTA PROIETTIVA

Stabilito che la retta proiettiva contiene il punto improprio dobbiamo ammettere che essa sia percorribile senza soluzione di continuità. Fissato  un punto k ed un punto A sulla retta e procedendo, ad esempio verso sinistra lascerei k a destra ed incontrerei in successione  i punti A₁-A₂-A₃-A_{n ...} fino a "raggiungere" A_∞sinistro.Per la continuità dello spazio   "oltrepassato " A_{∞ sinistro} mi ritroverei in  A_{∞ destro} e, continuando a percorrere la retta, finirei per raggiungere il punto P (alle spalle). Evidentemente la percorribilità della retta proiettiva senza soluzione di continuità impone che essa sia una circonferenza di raggio infinito. Ora se questo fosse vero dovrebbe essere possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra una retta proiettiva ed una circonferenza (immagine della retta) e infatti:

                      CURVATURA DELLA RETTA PROIETTIVA

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PROSPETTIVITA' NELLO SPAZIO ED OMOLOGIA  _CLIKkA  e    VAI