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ISTITUTO STATALE D’ARTE –
POTENZA
CORSO DI
GEOMETRIA DESCRITTIVA A.S. 2008-2009 CLASSI 5D PROF. LUIGI ALBANO 6 - 10 ottobre; OBIETTIVI DISCIPLINARI
La geometria
descrittiva si pone come obiettivo la rappresentazione dello
spazio tridimensionale su un piano bidimensionale, utilizzando
un metodo scientifico che prevede l'esecuzione
di due operazioni: proiezione e sezione. Utilizzando
questo metodo si ottengono immagini corrispondenti
biunivocamente con quanto da esse
rappresentato.
La
corrispondenza biunivoca è una proprietà degli insiemi
e si verifica quando ad ogni elemento di un insieme “A”
corrisponde uno ed un solo elemento dell’insieme “ Ai
“ .
Conseguenza di
quanto in precedenza è che ad ogni punto dell’immagine
corrisponde uno ed un solo punto dell’oggetto reale e viceversa.
Pertanto partendo dallo spazio reale è possibile ottenere
un’immagine e partendo dall’immagine è possibile ricostruire lo
spazio che essa rappresenta.
L’esigenza di
stabilire una
corrispondenza biunivoca tra l’immagine e lo spazio che essa
rappresenta, impone che il metodo per determinarla sia
scientifico. Infatti i metodi grafici utilizzati si fondano
sulla genesi del fenomeno proiettivo,
mediante il quale il sole proiettando sul piano un
qualsiasi corpo opaco immerso nello spazio, ne determina
un’immagine
bidimensionale: l’ombra.
La proiezione
avviene, quindi su
base scientifica ed in modo da stabilire una corrispondenza
biunivoca tra i due insiemi (Oggetto reale/immagine) tale che ad
ogni punto dell’insieme R (oggetto
reale) corrisponda uno ed un solo punto dell’insieme Ri
(immagine).
Un metodo scientifico deve avere precisi
elementi con i quali operare. La
geometria descrittiva, così
come razionalizzata da
G. Monge,
amplia i concetti della geometria
Euclidea,
fondata sui postulati di
Euclide, e mediante
l’introduzione del punto e della retta impropria.
12
ottobre
Definizione degli enti fondamentali la Geometria Descrittiva non abbandona i postulati della geometria Euclidea ma li trasforma e se ne avvale, ampliandoli con il citato concetto dell'ente geometrico improprio.
Gli "ENTI
GEOMETRICI FONDAMENTALI" sono: il punto, la
- un punto
improprio è un punto la cui posizione è immaginata all'infinito.
Il punto, come nella Geometria Euclidèa, non ha dimensioni.
- Una retta
impropria è formata da punti impropri. La retta ha una ed una
sola dimensione. Ogni piano contiene una ed una sola retta
impropria e pertanto nello spazio esistono infinite rette
improprie, poiché infinito è il numero dei piani.
- Il piano
improprio è formato da punti impropri e da rette improprie. Il
piano ha due dimensioni. Nello spazio esiste un solo piano
improprio.
lo spazio a tre
dimensioni della Geometria Euclidèa, ampliato con gli enti
impropri, assume il termine di "spazio proiettivo". In
particolare:
- la retta che
possiede il punto improprio è detta retta proiettiva;
- il piano che possiede punti impropri e
retta impropria è detto piano proiettivo.
19 ottobre PROSPETTIVITÀ
Considerate
due rette “ r “ ed “ ri ” è possibile
stabilire tra esse una corrispondenza biunivoca. L’operazione di
proiezione si compie fissando un centro di proiezione (O) e
proiettando da esso tutti i punti di una retta (r); la retta
proiettiva passando da un punto (A) della prima retta
determinerà una sezione della seconda. Il punto di sezione
individuato (A') sarà il corrispondente del punto (A)
proiettato . |
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L'operazione descritta in precedenza vale tanto sul piano quanto nello spazio. La situazione spaziale è rappresentata dalla proiezione effettuata dal sole (centro della proiezione) per mezzo dei raggi solari (rette proiettive) che proiettando tutti i punti dell'oggetto generano sul piano delle intersezioni che fissano il corrispondente di ogni punto sul piano che definiscono una particolare immagine che definiamo ombra. Le ombre non sono altro che immagini bidimensionali dello spazio tridimensionale. Risulta evidente come al variare della posizione del sole (centro di proiezione) cambia l'immagine ma in ogni istante ad ogni punto dell'immagine corrisponde un solo punto dell'oggetto e viceversa. l'ombra di un oggetto può pertanto definirsi come una prospettività di centro S; e con riferimento alla precedente figura 1 un bordo o spigolo dell'oggetto reale è rappresentato dalla retta "r" mentre la sua immagine è rappresentato dalla retta "r'". La geometria descrittiva pertanto utilizzando questo metodo, fisico, non ammette eccezioni. Essa utilizza due operazioni: proiezione e sezione. Il problema reale è rappresentato dalla necessità di trasferire il procedimento spaziale in un ambito bidimensionale utilizzando metodi assolutamente scientifici in maniera tale da conservare la biunivocità tra immagine ed oggetto da essa rappresentato. Il metodo adottato deve essere tale che in ogni momento sia possibile, partendo dall'oggetto determinarne l'immagini e partendo dall'immagine desumere le sue caratteristiche reali in maniera da poterlo costruire con assoluta certezza di risultato. |
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Con riferimento alla figura che precede è possibile fare alcune ulteriori ed importanti considerazioni. La prima riguarda le proprietà del punto d'intersezione tra la retta "r" e la sua corrispondente "r'"; questo punto(indicato con il pallino rosso) si definisce punto Unito ed è l'unico punto della retta oggettiva che coincide con la sua immagine U'. La seconda considerazione analizza cosa accade quando il raggio proiettante (retta proiettiva in verde tratteggiata) assume la condizione di parallelismo con la retta oggettiva "r"(disegnata in nero). In questo caso infatti il raggio proiettante (costituito da una retta proiettiva) proietterà il punto "I" della retta oggettiva, posto all'infinito e definito punto improprio (si ricorda che si definisce punto improprio quel punto che immaginiamo all'infinito e nel quale concorrono rette proiettive parallele). Ne consegue che l'intersezione del raggio proiettante con la "r'" fisserà su quest'ultima l'immagine del punto improprio I che s'indica con "ir" e si definisce punto limite della retta "r". |
L'evoluzione della Geometria Euclidea rappresentata dalla Geometria descrittiva è conseguenza dell'introduzione del concetto di punto improprio. In questo modo gli enti geometrici fondamentali della Geometria Descrittiva sono costituiti da quelli propri della geometria Euclidea (punto,retta e piano) ampliati da PUNTO, RETTA E PIANO IMPROPRIO. L'introduzione del punto improprio impone l'adeguamento della definizione di retta; essa infatti nella geometria Euclidea, viene definita come una successione di punti allineati lungo una direzione. Questa retta, Euclidea, ovviamente non contiene il punto improprio. L'aggiunta del punto improprio come ente facente parte della retta determina la necessità di distinguere questa retta da quella Euclidea. La rette che contiene il punto improprio si definisce RETTA PROIETTIVA diremo quindi che:
Conseguenza dell'esistenza della retta proiettiva è che la condizione di parallelismo tra rette postulata da Euclide in presenza di rette proiettive si ampia. Infatti stabilito che
ne consegue che:
Conseguenza di quanto in precedenza è che
e quindi si definisce
DEFINIZIONE DI PUNTO IMPROPRIO: CLIKKA e VAI ___________ |
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APPROFONDIMENTO
Stabilito che la retta proiettiva contiene il punto improprio dobbiamo ammettere che essa sia percorribile senza soluzione di continuità. Fissato un punto k ed un A sulla retta e procedendo, ad esempio verso sinistra lascerei k a destra ed incontrerei in successione i punti A1-A2-A3-An ... fino a "raggiungere" A∞sinistro.Per la continuità dello spazio "oltrepassato " A∞ sinistro mi ritroverei in A∞ destro e, continuando a percorrere la retta, finirei per raggiungere il punto P (alle spalle).
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| 09_novembre OMOLOGIA CLIKKkA e VAI |
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